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数学分析(二)

浏览次数: 更新日期:2013年11月05日 字体:A+ A-

课程名称 数学分析(二)
英文名称 Mathematical Analysis(2)
课程代码0610018教学计划 2009年版
学分/学时 5/96课程类型 学科通修课程
开课对象 本科生 课程性质必修
开课年级 一年级 授课院系数学与应用数学系
选用教材《数学分析》(上、下册)陈纪修,於崇华, 金路, 高等教育出版社 2002.6
课程简介

本课程是数学分析课程的第二部分。通过本课程的学习,要使学生掌握定积分和反常积分,级数和多元函数的基本概念, 基本理论和方法。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识。

课程英文简介
教学基本要求

了解定积分产生的背景思想; 掌握定积分,反常积分, 级数和多元函数的基本概念,基本理论,基本性质, 各种运算技巧和方法。并具备一定的分析和判断,论证能力和较强的运算能力。能够应用定积分和级数等相关的知识和的思想方法解决相关的实际问题。 应具体达到如下的要求:

1.    掌握定积分的概念,Darboux和等基本概念,Riemann可积的充要条件和一些可积函数类。熟练定积分的基本性质, 积分上、下限函数,微积分基本定理,定积分的换元积分法和分部积分法,奇偶函数的定积分。掌握求平面图形的面积,曲线的弧长,几何体的体积和旋转体的侧面积的方法。掌握利用微元法求解一些简单的数学模型和物理问题及一些简单的应用.

2.    掌握反常积分敛散性的定义,奇点,了解Cauchy主值和反常积分收敛的关系,掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子,理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法,以及一般函数反常积分的AbelDirichlet判别法判别基本的反常积分,了解积分第二中值定理。

3.    准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质,熟练地求一些级数的和;准确理解上极限与下极限的概念及其性质;比较熟练利用正项级数的收敛原理,比较判别法,CauchyD`Alembert判别法及其极限形式,Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性;准确理解Leibniz级数,并比较熟练利用Leibniz级数,AbelDirichlet判别法判别一般级数的敛散性。理解无穷乘积的敛散性.

4.    重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛,函数列一致收敛的判别法;掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理,Weierstrass判别法,AbelDirichlet判别法,掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性;重点掌握用Cauchy-HadamardD`Alembert求幂级数收敛半径,利用幂级数可导和可积性求幂级数的和. 掌握函数幂级数展开的条件,初等函数的幂级数展开.

掌握内积及其性质,Euclid空间,Euclid范数,Rn的极限,有界集,内点,边界点,孤立点,聚点,开集和闭集及其关系,闭包等. 理解闭矩形套定理, Bolzano-Weierstrass定理,Cauchy收敛定理,紧集及其Heine-Borel定理;掌握多元函数的定义,多元函数的重极限和二次极限及其关系,多元函数的连续,了解向量值函数及其极限、连续等性质;理解紧集上的连续映射概念,紧集上连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理,掌握连通集和区域等概念。

主要参考书

《数学分析习题课讲义》,谢惠民等, 高等教育出版社 2004.1

大纲制定者张中新 教学大纲


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